JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是有些网络底部形态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。一另一个图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了一另一个图的底部形态:

  在介绍如何用JavaScript实现图前一天,.我 先介绍有些和图相关的术语。

  如上图所示,由十根边连接在共同的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。一另一个顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另一个顶点相连,有些有些A的度为3,E和其它另一个顶点相连,有些有些E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图含有高路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不含有高重复的顶点,因此将的最后一另一个顶点换成,它也是一另一个简单路径。类事路径ADCA是一另一个环,它都有一另一个简单路径,因此将路径中的最后一另一个顶点A换成,那末它有些有些 一另一个简单路径。因此图中不处于环,则称该图是无环的。因此图中任何另一个顶点间都处于路径,则该图是连通的,如上图有些有些 一另一个连通图。因此图的边那末方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,因此另一个顶点间在双向上都处于路径,则称你这个个顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。因此有向图中的任何另一个顶点间在双向上都处于路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还能必须是加权的。前面.我 看过的图都有未加权的,下图为一另一个加权的图:

  能必须想象一下,前面.我 介绍的树和链表也属于图的有些特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,类事.我 能必须搜索图中的一另一个特定顶点或十根特定的边,因此寻找另一个顶点间的路径以及最短路径,检测图中否有处于环等等。

  处于多种不同的方法来实现图的数据底部形态,下面介绍几种常用的方法。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,.我 用一另一个二维数组来表示图中顶点之间的连接,因此另一个顶点之间处于连接,则你这个个顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,因此为0。下图是用邻接矩阵方法表示的图:

  因此是加权的图,.我 能必须将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵方法处于一另一个缺点,因此图是非强连通的,则二维数组中会有有些有些的0,这表示.我 使用了有些有些的存储空间来表示根本不处于的边。另另一个缺点有些有些 当图的顶点处于改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外有些实现方法是邻接表,它是对邻接矩阵的有些改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,.我 能必须用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  .我 还能必须用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状态下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵方法表示的图:

  下面.我 重点看下如何用邻接表的方法表示图。.我 的Graph类的骨架如下,它用邻接表方法来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中换成一另一个新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中换成a和b另一个顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,.我 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据底部形态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每一另一个顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面.我 给出的邻接表的示意图。因此在Graph类中,.我 提供另一个方法,方法addVertex()用来向图中换成一另一个新顶点,方法addEdge()用来向图中换成给定的顶点a和顶点b之间的边。因此.我 来看下你这个个方法的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要换成一另一个新顶点,首那末判断该顶点在图中否有因此处于了,因此因此处于则必须换成。因此不处于,就在vertices数组中换成一另一个新元素,因此在字典adjList中换成一另一个以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 因此图中那末顶点a,先换成顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 因此图中那末顶点b,先换成顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中换成指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中换成指向顶点a的边
}

  addEdge()方法也很简单,首那末确保给定的另一个顶点a和b在图中都要处于,因此不处于,则调用addVertex()方法进行换成,因此分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中换成一另一个新元素。

  下面是Graph类的全部代码,其中的toString()方法是为了.我 测试用的,它的处于都有都要的。

  对于本文一开始给出的图,.我 换成下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  能必须看过,与示意图是相符合的。

  和树类事,.我 不还可不后能 必须对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历方法分为有些:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和深层优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历能必须用来寻找特定的顶点或另一个顶点之间的最短路径,以及检查图否有连通、图中否有含有环等。

  在接下来要实现的算法中,.我 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问因此被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第一另一个顶点开始遍历图,先访问有些顶点的所有相邻顶点,因此再访问有些相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  因此.我 采用邻接表的方法来存储图的数据,对于图的每个顶点,都有一另一个字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于有些数据底部形态,.我 能必须考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,因此依次处理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将开始顶点存入队列。
  2. 遍历开始顶点的所有邻接顶点,因此有些邻接顶点那末被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),因此加入队列。
  3. 将开始顶点标记为被处理(颜色为黑色)。
  4. 循环处理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()方法接收一另一个graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要如何处理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),有些颜色保处于以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性能必须通过getVertices()和getAdjList()方法得到,因此构造一另一个队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据底部形态——队列的实现与应用》),按照后边描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面.我 给出的测试用例的基础上,换成下面的代码,来看看breadthFirstSearch()方法的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也有些有些 .我 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,.我 将顶点I倒入最后边。从顶点I开始,首先遍历到的是它的相邻顶点E,因此是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D因此被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G因此被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,.我 能必须使用它做更多的事情,类事在一另一个图G中,从顶点v开始到其它所有顶点间的最短距离。.我 考虑一下如何用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另一个相邻顶点间的距离为1,从顶点v开始,在其路径上每经过一另一个顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()方法的改进,用来返回从起始顶点开始到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()方法中,.我 定义了另一个对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及有些顶点的前置顶点。BFS()方法不都要callback回调函数,因此它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()方法的逻辑类事,只不过在开始的前一天将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,因此在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。.我 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A开始到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()方法的返回结果为基础,通过下面的代码,.我 能必须得出从顶点A开始到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类能必须参考《JavaScript数据底部形态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上.我 说的都有未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并都有最大约的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

深层优先

  深层优先算法从图的第一另一个顶点开始,沿着有些顶点的十根路径递归查找到最后一另一个顶点,因此返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,深层优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是深层优先遍历的示意图:

  .我 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一开始将所有的顶点初始化为白色,因此沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,因此顶点被探索过(处理过),则将颜色改为黑色。下面是深层优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第一另一个顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数内控 ,因此顶点A被访问过了,有些有些将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(因此处于),因此遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,有些有些将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,有些有些将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,有些有些将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I那末邻接节点,因此将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E那末其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的另另一个邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,有些有些将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F那末邻接节点,因此将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第另一个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,有些有些将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,有些有些将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,有些有些将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G那末邻接节点,因此将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的另另一个邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,有些有些将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H那末邻接节点,因此将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的另另一个邻接节点G,因此G因此被访问过,对C的邻接节点的遍历开始。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后一另一个邻接节点D,因此D因此被访问过,对A的邻接节点的遍历开始。将A设置为黑色。
  17. 因此对剩余的节点进行遍历。因此剩余的节点都被设置为黑色了,有些有些任务管理器开始。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,.我 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,深层优先算法的数据底部形态是栈,然而这里.我 并那末使用栈来存储任何数据,有些有些 使用了函数的递归调用,真是递归也是栈的有些表现形式。另外有些,因此图是连通的(即图中任何另一个顶点之间都处于路径),.我 能必须对上述代码中的depthFirstSearch()方法进行改进,只都要对图的起始顶点开始遍历一次就能必须了,而不都要遍历图的所有顶点,因此从起始顶点开始的递归就能必须覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了深层优先算法的工作原理,.我 能必须使用它做更多的事情,类事拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort因此toposort)。与广度优先算法类事,.我 也对后边的depthFirstSeach()方法进行改进,以说明如何使用深层优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()方法会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,.我 假定时间从0开始,每经过一步时间值加1。在DFS()方法中,.我 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(有些和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映你这个个值。这里都要注意的是,变量time之有些有些被定义为对象而都有一另一个普通的数字,是因此.我 都要在函数间传递有些变量,因此有些有些 作为值传递,函数内控 对变量的修改不让影响到它的原始值,因此.我 有些有些 都要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,有些有些采用值传递的方法显然不行。因此.我 将time定义为一另一个对象,对象被作为引用传递给函数,另另一个在函数内控 对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()方法的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  .我 将结果反映到示意图上,另另一个更加直观:

  示意图上每一另一个顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,全部完成时间是18,能必须结合前面的深层优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。共同.我 也看过,深层优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序必须应用于有向无环图(DAG)。基于后边DFS()方法的返回结果,.我 能必须对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到.我 都要的拓扑排序结果。

  因此要实现有向图,只都要对前面.我 实现的Graph类的addEdge()方法略加修改,将最后一行删掉。当然,.我 不还可不后能 必须在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  因此.我 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章.我 将介绍如何用JavaScript来实现各种常见的排序算法。