纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是并有的是比较松散的数据形状。它有其他节点(vertice),在其他节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也突然出现过,你们你们通常在节点中储存数据。边表示4个 节点之间的占据 关系。在树中,你们你们用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是并有的是特殊的图,但限制性更强其他。

原本的并有的是数据形状是很常见的。比如计算机网络,就说 我由其他节点(计算机前一天路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也都都能否理解为图,地铁站都都能否认为是节点。基于图有其他经典的算法,比如求图中4个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥什么的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市中有 一根河流过,河中有 4个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和4个 小岛。送信员总想知道,有没4个 辦法 ,能不重复的走过7个桥呢?

(你这些什么的问题在其他奥数教材中称为"一笔画"什么的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都都能否看作由7个边和4个 节点构成的4个 图:

你这些什么的问题最终被欧拉巧妙的补救。七桥什么的问题也启发了一门新的数学好 科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,前一天某个节点有的是起点前一天终点,非要连接它的边的数目需用为偶数个(从4个 桥进入,再从原本桥拖累)。对于柯尼斯堡的七桥,前一天4个 节点都为奇数个桥,而最多非要有4个 节点为起点和终点,什么都有有不前一天一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。4个 图的所有节点构成4个 集合[$V$]。4个 边都都能否表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即4个 节点。前一天[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,非要图是有向的(directed)。有序的边都都能否理解为单行道,非要沿4个 方向行进。前一天[$(v_1, v_2)$]无序,非要图是无向的(undirected)。无序的边都都能否理解成双向都都都能否行进的道路。4个 无序的边都都能否看作连接相同节点的4个 反向的有序边,什么都有不是向图都都能否理解为有向图的并有的是特殊清况 。

(七桥什么的问题中的图是无向的。城市中的公交线路都都能不是无向的,比如占据 单向环线)

图的4个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也就说 我说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为4个 节点。路径后边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,你们你们会在选者某个路径,来从A站到达B站。原本的路径前一天有不止一根,你们你们往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤清况 ,来选者一根最佳的路线。前一天占据 一根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,非要认为该图中占据 环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中占据 环路。

 

找到一根环路

前一天从每个节点,到任意4个 其它的节点,有的是一根路径一句话,非要图是连通的(connected)。对于4个 有向图来说,原本的连通称为强连通(strongly connected)。前一天4个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,非要认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

前一天将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原本的图前一天是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间非要路径相连。

图的实现

并有的是简单的实现图的辦法 是使用二维数组。让数组a的每一行为4个 节点,该行的不同元素表示该节点与其他节点的连接关系。前一天[$(u, v) \in E$],非要a[u][v]记为1,日后 为0。比如下面的4个 中有 4个 节点的图:

 

都都能否简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你这些实现辦法 所占据 的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而好快增多。前一天边有的是很密集,非要什么都有有数组元素记为0,非要稀疏的其他数组元素记为1,什么都有有并有的是很经济。

更经济的实现辦法 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,你们你们建立4个 链表。对于任意节点k,前一天有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒入到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准辦法 。比如下面的图,

 

都都能否用如下的数据形状实现:

 

左侧为4个 数组,每个数组元素代表4个 节点,且指向4个 链表。该链表包中有 该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都都能否分为两每项。邻接表所占据 的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组每项储存节点信息,占据 [$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,占据 [$|E|$]的空间,即边的总数。在其他僵化 的什么的问题中,定点和边还前一天有其他的附加信息,你们你们都都能否将哪些地方地方附加信息储占据 相应的节点前一天边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

后边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是并有的是很简单的数据形状。图的组织辦法 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法僵化 度。我将在前一天介绍其他图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据形状”系列